Fünf Satelliten für eine präzise GPS-Navigation nötig – Neuer mathematischer Beweis

GPS-Systeme sind fester Bestandteil unseres Alltags und ermöglichen die präzise Navigation zu fast jedem Punkt auf der Erde. Doch wie viele Satelliten sind tatsächlich für eine genaue Standortbestimmung erforderlich? Forschende der TU München und der Eindhoven University of Technology haben nun erstmals mathematisch bewiesen, dass mindestens fünf Satelliten notwendig sind, um in den meisten Fällen eine genaue Position zu bestimmen.

GPS-Satelliten senden kontinuierlich ihre Position und die exakte Zeit einer Atomuhr an Navigationsgeräte. Diese empfangen die Signale und berechnen die Entfernung zu den Satelliten basierend auf der Laufzeit der Funksignale. Die genaue Positionsbestimmung erfordert jedoch nicht nur die Kenntnis der Satellitenpositionen, sondern auch eine exakte Zeitmessung. Selbst minimale Abweichungen in der Zeitmessung können zu Fehlern in der Standortbestimmung führen.

Bislang war unklar, wie viele Satelliten für eine zuverlässige und eindeutige GPS-Navigation notwendig sind. Die Forschenden der TUM und TU/e haben nun gezeigt, dass bei fünf Satelliten eine exakte Positionsbestimmung in den meisten Fällen möglich ist. Bisher wurde nur vermutet, dass fünf Satelliten ausreichen könnten, aber ein mathematischer Beweis dafür fehlte. «Wir haben über ein Jahr an diesem Problem gearbeitet, um zu diesem Ergebnis zu kommen», erklärt Gregor Kemper, Professor für algorithmische Algebra an der TUM.

Aktuell wird auf der Erde in der Regel der Kontakt zu vier Satelliten sichergestellt. Die Forschenden vermuten, dass die Wahrscheinlichkeit für eine eindeutige Lösung des GPS-Problems mit vier Satelliten nur bei etwa 50% liegt. Dies soll in einem künftigen Projekt untersucht werden. Wenn hingegen nur drei oder weniger Satelliten verfügbar sind, funktioniert die GPS-Navigation nicht.

Der Beweis gelang, indem das GPS-Problem geometrisch analysiert wurde. Die Wissenschaftler stellten fest, dass die Position des Empfängers nicht eindeutig bestimmt werden kann, wenn die Satelliten auf einem sogenannten zweischaligen Rotationshyperboloid liegen – einer gekrümmten Fläche, die in alle Richtungen offen ist. Diese theoretische Erkenntnis hat praktische Bedeutung, da sie hilft, die Ursachen für Ungenauigkeiten bei der GPS-Positionsbestimmung besser zu verstehen und zukünftige Systeme zu verbessern.

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